Uge semana 5

Problema 1. Para todo entero positivo n, sea s(n) la suma de sus dígitos, en base 10. Encuentra todos los enteros positivos n tales que n = 300s(n).

Problema 2. Encontrar todos los enteros positivos n <= 1000 tal que s(n) = 2s(5n).

Itzanami Semana 5

Problema 1 (APMO, 2008). Los estudiantes de una clase forman grupos de exactamente tres alumnos cada uno, de tal manera que cualesquiera dos grupos distintos tienen a lo más un miembro en común. Demuestra que, cuando hay 46 estudiantes en la clase, existe un conjunto de 10 estudiantes que no contiene a ninguno de los grupos anteriores.

Problema 2. Tres franceses, tres ingleses y tres mexicanos se sientan en una mesa redonda ¿Cuántos acomodos no tienen a dos compatriotas sentados juntos?

José Ángel semana 4

Problema 1. Encuentra todos los arreglos de 111222333 que no contengan tres dígitos consecutivos iguales

Problema 2. Para cada N demuestra que hay un numero de Fibonacci que termina en al menos N ceros

Problema 3. Demuestra que dados 10 enteros positivos de 2 dígitos existen 2 subconjuntos ajenos A y B tales que la suma de sus elementos es la misma

Problema 4. En un montón hay 2000 fichas. A y B van a jugar por turnos a quitar fichas del montón. en cada turno se permiten quitar 1, 2, 3, 4 o 5 fichas del montón pero no se puede quitar la misma cantidad que se quito en el turno anterior. gana quien quite la ultima ficha. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

Lalo semana 4

Leyre semana 3 :D

1. Sean P y Q puntos sobre segmento BC del triángulo acutángulo ABC tal que <PAB=<BCA y <CAQ=<ABC. Sea M y N puntos sobre  AP y AQ, respectivamente, de manera que P es el punto medio de AM y Q es punto medio de AN. Demuestra que la intersección de BM con CN esta sobre la circunferencia de ABC.

2. Encuentra todos los números naturales n tales que la ecuación x^2+y^2+z^2=nxyz tiene soluciones en  los enteros positivos

3. Sea A, B, D, E, F, C seis puntos sobre una circunferencias (en ese orden) que satisface que AB=AC. Sea P la intersección de AD con BE, R la de AF con CE, Q la de BF con CD, S la de AD con BF y T la de AF con CD. K es un punto sobre ST tal que <QKS=<ECA. Demuestra que SK/KT=PQ/QR. 

Elisa semana 3

Alfredo semana 3

Sea ABC un triángulo con incentro I. Sea D el pie de la bisectriz de A sobre BC, M punto sobre BI tal que AM=DM y N un punto sobre CI tal que AN=DN. Muestra que AMIN es cíclico.