Isaac semana 1

Al final de un torneo de fútbol en el que cada par de equipos jugaron entres si exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos A, B y C, si A le ganó a B y B le ganó a C, entonces A le ganó a C.

Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Uge semana 1

Problema clásico: Demuestra que para todo natural k, es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos es primo. 

Problema poquito más difícil: Demuestra que para todo natural k, es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos es primo o la potencia de un primo.

Problema retador: Un número natural se dice poderoso si en su descomposición en primos, todos sus factores están elevados a potencias mayores a 1. Para todo natural k, ¿es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos sea poderoso? (Nota: Un número se dice cuadrilibre si en su descomposición en primos, ninguno de sus factores está elevado a una potencia mayor a 1. Observa que no-poderoso no es lo mismo que cuadrilibre; el 12 es no-poderoso pero no es cuadrilibre.)

Lalo semana 1

Encuentra las soluciones reales x, y, z, w del sistema de ecuaciones:

x + y + z = w

1/x + 1/y + 1/z = 1/w

José Ángel semana 1

• Muestra que entre cualesquiera N enteros existen algunos de ellos que sumen un múltiplo de N.
• Muestra que si un número natural N puede ser escrito como suma de 2 cuadrados, 2N también puede. 
• En un pizarrón hay P-1 números naturales anotados tales que el valor absoluto de la diferencia de cualesquiera 2 de ellos también está escrito en el pizarrón, si P está en el pizarrón demuestra que todos los números en el pizarrón son múltiplos de P.