Uge semana 5

Problema 1. Para todo entero positivo n, sea s(n) la suma de sus dígitos, en base 10. Encuentra todos los enteros positivos n tales que n = 300s(n).

Problema 2. Encontrar todos los enteros positivos n <= 1000 tal que s(n) = 2s(5n).

Uge semana 2

Problema fácil: Sea E un punto arbitrario sobre el lado AC del triángulo ABC. Por el vértice B tracemos una recta arbitraria l. Por E, se traza una recta paralela a BC que corta a l en el punto N. También por E, se traza una recta paralela a AB que corta a l en el punto M. Demuestra que AN es parelelo a CM. 

Problema también fácil: Sean C1 y C2 dos circunferencias tangentes exteriormente en P, con centros O1 y O2, respectivamente. Las rectas L1 y L2 son las tangentes a C2 y C1, respectivamente, que pasan por los centros O1 y O2, respectivamente. Demuestra que P está en la bisectriz de alguno de los ángulos formados por L1 y L2. 

Uge semana 1

Problema clásico: Demuestra que para todo natural k, es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos es primo. 

Problema poquito más difícil: Demuestra que para todo natural k, es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos es primo o la potencia de un primo.

Problema retador: Un número natural se dice poderoso si en su descomposición en primos, todos sus factores están elevados a potencias mayores a 1. Para todo natural k, ¿es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos sea poderoso? (Nota: Un número se dice cuadrilibre si en su descomposición en primos, ninguno de sus factores está elevado a una potencia mayor a 1. Observa que no-poderoso no es lo mismo que cuadrilibre; el 12 es no-poderoso pero no es cuadrilibre.)