Elisa semana 6

Sean x, y reales positivos tales que x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. 

Muestra que x + y = 10

Diana semana 5

Problema 1. Determina todas las parejas (a,b) de reales positivos tales que a > b y que satisfacen:

Problema 2. Sea ABC un triángulo. Su B-excírculo y C-excírculo tocan BC en D y E respectivamente. El incírculo de ABC toca a AB y a AC en F y K respectivamente. Sea H el pie de la altura desde A. Muestra que EK, DE y AH concurren.

Leyre semana 3 :D

1. Sean P y Q puntos sobre segmento BC del triángulo acutángulo ABC tal que <PAB=<BCA y <CAQ=<ABC. Sea M y N puntos sobre  AP y AQ, respectivamente, de manera que P es el punto medio de AM y Q es punto medio de AN. Demuestra que la intersección de BM con CN esta sobre la circunferencia de ABC.

2. Encuentra todos los números naturales n tales que la ecuación x^2+y^2+z^2=nxyz tiene soluciones en  los enteros positivos

3. Sea A, B, D, E, F, C seis puntos sobre una circunferencias (en ese orden) que satisface que AB=AC. Sea P la intersección de AD con BE, R la de AF con CE, Q la de BF con CD, S la de AD con BF y T la de AF con CD. K es un punto sobre ST tal que <QKS=<ECA. Demuestra que SK/KT=PQ/QR. 

Elisa semana 3

Diana semana 2

• Encuentra todas las parejas (a,b) de números enteros tales que a^3 + b^3 + 3ab = 1.
• Sea M el punto medio del segmento AB del triángulo ABC. Sean X y Y puntos tales que el ángulo BAX es igual al ángulo ACM y el ángulo BYA es igual al ángulo MCB. (Nota: Tanto X como Y están del mismo lado que C con respecto al lado AB.) Demuestra que los rayos AX y BY se intersecan en la recta CM. 

Lalo semana 1

Encuentra las soluciones reales x, y, z, w del sistema de ecuaciones:

x + y + z = w

1/x + 1/y + 1/z = 1/w