Leyre Semana 9

Sean X y Y puntos de tangencia del incírculo de triángulos ABC cun AC y AB . Sea Z' la intersección de XY con BC y Z'' el punto de tangencia del excírculo de A con BC. Muestra que CZ''*CZ'=BZ''*BZ'

Alfredo semana 8

Problema 1. determina la mayor cantidad de áreas que es posible conseguir con 100 puntos y lineas que unan 2 de cualesquiera de esos 100.

Problema 2. En un triangulo ABC de alturas AD, BE, CF sean K, L, M los ortocentros de los triángulos AEF, BDF Y CDE P.d. triángulo EDF congruente al KLM.

José Ángel semana 7

Problema 1. Sea p un numero primo mayor que 2. Si

1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/(p-1)) = a/b 

demuestra que a es múltiplo de p. 

Problema 2. Encuentra todos los numerous primos p tales que ((2^(p-1))-1)/p es un cuadrado.

Lalo semana 7

Problema: Encuentra el menor entero tal que termina en 56, es múltiplo de 56, y la suma de sus dígitos es 56.

Elisa semana 6

Sean x, y reales positivos tales que x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. 

Muestra que x + y = 10

Leyre semana 6

1. Encuentra todos los números primos p y q, tal que
 p^(q+1) + q^(p+1) = x^2

2. Encuentra todas las ternas (p,q,r) de números primos que satifacen:
p^4 + 2p + q^4 + q^2 = r^2 + 4q^3 + 1

Diana semana 5

Problema 1. Determina todas las parejas (a,b) de reales positivos tales que a > b y que satisfacen:

Problema 2. Sea ABC un triángulo. Su B-excírculo y C-excírculo tocan BC en D y E respectivamente. El incírculo de ABC toca a AB y a AC en F y K respectivamente. Sea H el pie de la altura desde A. Muestra que EK, DE y AH concurren.

Uge semana 5

Problema 1. Para todo entero positivo n, sea s(n) la suma de sus dígitos, en base 10. Encuentra todos los enteros positivos n tales que n = 300s(n).

Problema 2. Encontrar todos los enteros positivos n <= 1000 tal que s(n) = 2s(5n).

Itzanami Semana 5

Problema 1 (APMO, 2008). Los estudiantes de una clase forman grupos de exactamente tres alumnos cada uno, de tal manera que cualesquiera dos grupos distintos tienen a lo más un miembro en común. Demuestra que, cuando hay 46 estudiantes en la clase, existe un conjunto de 10 estudiantes que no contiene a ninguno de los grupos anteriores.

Problema 2. Tres franceses, tres ingleses y tres mexicanos se sientan en una mesa redonda ¿Cuántos acomodos no tienen a dos compatriotas sentados juntos?

José Ángel semana 4

Problema 1. Encuentra todos los arreglos de 111222333 que no contengan tres dígitos consecutivos iguales

Problema 2. Para cada N demuestra que hay un numero de Fibonacci que termina en al menos N ceros

Problema 3. Demuestra que dados 10 enteros positivos de 2 dígitos existen 2 subconjuntos ajenos A y B tales que la suma de sus elementos es la misma

Problema 4. En un montón hay 2000 fichas. A y B van a jugar por turnos a quitar fichas del montón. en cada turno se permiten quitar 1, 2, 3, 4 o 5 fichas del montón pero no se puede quitar la misma cantidad que se quito en el turno anterior. gana quien quite la ultima ficha. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

Lalo semana 4

Leyre semana 3 :D

1. Sean P y Q puntos sobre segmento BC del triángulo acutángulo ABC tal que <PAB=<BCA y <CAQ=<ABC. Sea M y N puntos sobre  AP y AQ, respectivamente, de manera que P es el punto medio de AM y Q es punto medio de AN. Demuestra que la intersección de BM con CN esta sobre la circunferencia de ABC.

2. Encuentra todos los números naturales n tales que la ecuación x^2+y^2+z^2=nxyz tiene soluciones en  los enteros positivos

3. Sea A, B, D, E, F, C seis puntos sobre una circunferencias (en ese orden) que satisface que AB=AC. Sea P la intersección de AD con BE, R la de AF con CE, Q la de BF con CD, S la de AD con BF y T la de AF con CD. K es un punto sobre ST tal que <QKS=<ECA. Demuestra que SK/KT=PQ/QR. 

Elisa semana 3

Alfredo semana 3

Sea ABC un triángulo con incentro I. Sea D el pie de la bisectriz de A sobre BC, M punto sobre BI tal que AM=DM y N un punto sobre CI tal que AN=DN. Muestra que AMIN es cíclico.

Sol semana 2

Prueba que para todo entero positivo n, el número 3^n - 2n^2 - 1 es divisible por 8

Uge semana 2

Problema fácil: Sea E un punto arbitrario sobre el lado AC del triángulo ABC. Por el vértice B tracemos una recta arbitraria l. Por E, se traza una recta paralela a BC que corta a l en el punto N. También por E, se traza una recta paralela a AB que corta a l en el punto M. Demuestra que AN es parelelo a CM. 

Problema también fácil: Sean C1 y C2 dos circunferencias tangentes exteriormente en P, con centros O1 y O2, respectivamente. Las rectas L1 y L2 son las tangentes a C2 y C1, respectivamente, que pasan por los centros O1 y O2, respectivamente. Demuestra que P está en la bisectriz de alguno de los ángulos formados por L1 y L2. 

Itzanami Semana 2

Diana semana 2

• Encuentra todas las parejas (a,b) de números enteros tales que a^3 + b^3 + 3ab = 1.
• Sea M el punto medio del segmento AB del triángulo ABC. Sean X y Y puntos tales que el ángulo BAX es igual al ángulo ACM y el ángulo BYA es igual al ángulo MCB. (Nota: Tanto X como Y están del mismo lado que C con respecto al lado AB.) Demuestra que los rayos AX y BY se intersecan en la recta CM. 

Isaac semana 1

Al final de un torneo de fútbol en el que cada par de equipos jugaron entres si exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos A, B y C, si A le ganó a B y B le ganó a C, entonces A le ganó a C.

Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Uge semana 1

Problema clásico: Demuestra que para todo natural k, es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos es primo. 

Problema poquito más difícil: Demuestra que para todo natural k, es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos es primo o la potencia de un primo.

Problema retador: Un número natural se dice poderoso si en su descomposición en primos, todos sus factores están elevados a potencias mayores a 1. Para todo natural k, ¿es posible encontrar k enteros consecutivos tales que ninguno de ellos sea poderoso? (Nota: Un número se dice cuadrilibre si en su descomposición en primos, ninguno de sus factores está elevado a una potencia mayor a 1. Observa que no-poderoso no es lo mismo que cuadrilibre; el 12 es no-poderoso pero no es cuadrilibre.)

Lalo semana 1

Encuentra las soluciones reales x, y, z, w del sistema de ecuaciones:

x + y + z = w

1/x + 1/y + 1/z = 1/w

José Ángel semana 1

• Muestra que entre cualesquiera N enteros existen algunos de ellos que sumen un múltiplo de N.
• Muestra que si un número natural N puede ser escrito como suma de 2 cuadrados, 2N también puede. 
• En un pizarrón hay P-1 números naturales anotados tales que el valor absoluto de la diferencia de cualesquiera 2 de ellos también está escrito en el pizarrón, si P está en el pizarrón demuestra que todos los números en el pizarrón son múltiplos de P.

Dale San Luis!

Este blog es un proyecto de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en San Luis Potosí para mantener cierto ritmo de entrenamiento olímpico, principalmente con el grupo de participantes que tiene un poco más de experiencia. El blog estará a cargo de los propios participantes, quienes propondrán y resolverán los problemas cada semana; un par de entrenadores estaremos supervisando que todo salga bien y propondremos problemas de vez en cuando. 

El equipo de participantes que estará publicando problemas son: José Ángel, Diana, Leyre, Alfredo, Itzanami, Lalo, Isaac, Elisa y Marisol. Estarán divididos en tres equipos: José Ángel, Lalo e Isaac; Diana, Itzanami y Marisol; Leyre, Alfredo y Elisa, de modo que cada equipo se hará cargo una semana cada tres. Cada participante publica un problema a la semana de modo que al menos habrá tres retos por semana para cada quien. Cualquier otra persona puede comentar soluciones. 

Vamos rumbo a la Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2016 y más allá.