1. Sea $\sigma_k(n)$ la suma de todos los productos de $k$ números distintos tomados del $1$ al $n$. Por ejemplo, $\sigma_1(n)=1+2+3+...+n$, $\sigma_2(3)=1*2+2*3+3*1$, etc. Entonces, la suma que tenemos se puede ver de la siguiente forma: $$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i}=\frac{\sigma_{p-2}(p-1)}{(p-1)!}$$ Como el denominador no es divisible por $p$, solo necesitamos ver que $\sigma_{p-2}(p-1)$ es divisible por $p$. Para esto, consideremos el polinomio $$Q(x)=(x-1)(x-2)...(x-(p-1))$$ Expandiendo la multiplicación y usando la notación antes mencionada, se tiene que $$Q(x)=x^{p-1}-\sigma_{1}(p-1)x^{p-2}+...-\sigma_{p-2}(p-1)x+(p-1)!$$ Consideremos el valor de $Q(p)$. Usando la primera igualdad, se tiene que $$Q(p)=(p-1)(p-2)...(p-(p-1))$$ Luego $Q(p)=(p-1)!$ Ahora, usando la segunda igualdad y viendo el resultado (mod $p^{2}$), se tiene que $$Q(p) \equiv -\sigma_{p-2}(p-1)*p + (p-1)! $$ $$ \Rightarrow (p-1)! \equiv -\sigma_{p-2}(p-1)*p + (p-1)! $$ $$ \Rightarrow \sigma_{p-2}(p-1)*p \equiv 0 $$ Lo que implica que $\sigma_{p-2}(p-1)$ es divisible por $p$, como queríamos.
2. Es claro ver que $p=2$ no es una solución. Entonces $p>2$, o sea, $p$ es impar, por lo que podemos establecer que $p=2k+1$. Sea $$\frac{2^{p-1}-1}{p}=x^{2}$$ para alguna $x$ entera. Entonces $$2^{2k}-1=p*x^{2}$$ $$\Rightarrow (2^{k}+1)(2^{k}-1)=p*x^{2}$$ Los dos factores del lado izquierdo de la igualdad son primos relativos (debido a que tienen diferencia dos, y ambos son impares). Como la multiplicación de estos dos números equivale a $p*x^{2}$, se tiene que alguno de los dos factores tiene que ser un cuadrado perfecto.
Caso 1. $2^{k}+1=y^{2}$ Por Catalán, esto de hecho tiene solución: $k=3$, $y=3$, lo que nos dice que $p=7$. Es fácil verificar que esta es una solución.
Caso 2. $2^{k}-1=y^{2}$ Por Catalán, esta ecuación en particular no tiene soluciones.
Por lo tanto, el único primo que cumple con lo que se pide es $p=7$.
1. Sea $\sigma_k(n)$ la suma de todos los productos de $k$ números distintos tomados del $1$ al $n$. Por ejemplo, $\sigma_1(n)=1+2+3+...+n$, $\sigma_2(3)=1*2+2*3+3*1$, etc.
ResponderEliminarEntonces, la suma que tenemos se puede ver de la siguiente forma: $$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i}=\frac{\sigma_{p-2}(p-1)}{(p-1)!}$$
Como el denominador no es divisible por $p$, solo necesitamos ver que $\sigma_{p-2}(p-1)$ es divisible por $p$.
Para esto, consideremos el polinomio $$Q(x)=(x-1)(x-2)...(x-(p-1))$$ Expandiendo la multiplicación y usando la notación antes mencionada, se tiene que $$Q(x)=x^{p-1}-\sigma_{1}(p-1)x^{p-2}+...-\sigma_{p-2}(p-1)x+(p-1)!$$
Consideremos el valor de $Q(p)$. Usando la primera igualdad, se tiene que
$$Q(p)=(p-1)(p-2)...(p-(p-1))$$
Luego $Q(p)=(p-1)!$
Ahora, usando la segunda igualdad y viendo el resultado (mod $p^{2}$), se tiene que
$$Q(p) \equiv -\sigma_{p-2}(p-1)*p + (p-1)! $$
$$ \Rightarrow (p-1)! \equiv -\sigma_{p-2}(p-1)*p + (p-1)! $$
$$ \Rightarrow \sigma_{p-2}(p-1)*p \equiv 0 $$
Lo que implica que $\sigma_{p-2}(p-1)$ es divisible por $p$, como queríamos.
2. Es claro ver que $p=2$ no es una solución. Entonces $p>2$, o sea, $p$ es impar, por lo que podemos establecer que $p=2k+1$. Sea $$\frac{2^{p-1}-1}{p}=x^{2}$$ para alguna $x$ entera. Entonces $$2^{2k}-1=p*x^{2}$$ $$\Rightarrow (2^{k}+1)(2^{k}-1)=p*x^{2}$$
Los dos factores del lado izquierdo de la igualdad son primos relativos (debido a que tienen diferencia dos, y ambos son impares). Como la multiplicación de estos dos números equivale a $p*x^{2}$, se tiene que alguno de los dos factores tiene que ser un cuadrado perfecto.
Caso 1. $2^{k}+1=y^{2}$
Por Catalán, esto de hecho tiene solución: $k=3$, $y=3$, lo que nos dice que $p=7$. Es fácil verificar que esta es una solución.
Caso 2. $2^{k}-1=y^{2}$
Por Catalán, esta ecuación en particular no tiene soluciones.
Por lo tanto, el único primo que cumple con lo que se pide es $p=7$.