Sean X y Y puntos de tangencia del incírculo de triángulos ABC cun AC y AB . Sea Z' la intersección de XY con BC y Z'' el punto de tangencia del excírculo de A con BC. Muestra que CZ''*CZ'=BZ''*BZ'
Sea $Z$ el punto de tangencia del incírculo del tríangulo $ABC$ con $BC$. Es fácil ver que $AZ$, $BX$ y $CY$ concurren (por Ceva), entonces $B$, $C$, $Z$ y $Z'$ forman una hilera armónica, en particular, $$\frac{CZ}{ZB}=\frac{CZ'}{BZ'}$$ Es conocido que $BZ=Z''C$, entonces es fácil ver que $$\frac{CZ}{ZB}=\frac{BZ''}{Z''C}=\frac{CZ'}{BZ'}$$ Donde la última igualdad implica el resultado deseado.
Sea $Z$ el punto de tangencia del incírculo del tríangulo $ABC$ con $BC$. Es fácil ver que $AZ$, $BX$ y $CY$ concurren (por Ceva), entonces $B$, $C$, $Z$ y $Z'$ forman una hilera armónica, en particular, $$\frac{CZ}{ZB}=\frac{CZ'}{BZ'}$$
ResponderEliminarEs conocido que $BZ=Z''C$, entonces es fácil ver que $$\frac{CZ}{ZB}=\frac{BZ''}{Z''C}=\frac{CZ'}{BZ'}$$
Donde la última igualdad implica el resultado deseado.